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Terza lezione
Napoli, 2 giugno 1993
Logica teoretica e logica pratica

I risultati limitativi degli anni ’30 confutano alcune tesi su cui Hilbert aveva costruito l’edificio della matematica. La coerenza è minata dal secondo teorema di incompletezza: dato un sistema formale S contenente l’aritmetica, non si può dimostrare la coerenza di S all’interno di S. La completezza è minata dal primo teorema di incompletezza: le proposizioni indecidibili scoperte da Gödel mostrano l’incompletezza dell’aritmetica sia a livello sintattico (Hilbert), sia a livello semantico (Frege). Anche la decidibilità, corollario della completezza, è minata dai risultati di Gödel e Church-Turing sull’incompletezza dell’aritmetica. Tuttavia, nonostante questi risultati limitativi siano assodati, la logica matematica ha indebolito ma non abbandonato le ipotesi di partenza. Tarski, nel suo manuale di logica matematica, assume un atteggiamento pragmatico, relativizzando e riducendo l’applicazione dei sistemi formali alla matematica/scienza applicata, senza considerare i limiti strutturali dei sistemi formali. Tuttavia, anche se i requisiti di coerenza, completezza e decidibilità imposti da Hilbert fossero stati soddisfatti, secondo Cellucci la logica matematica non sarebbe stata  comunque adeguata nella descrizione del reale procedimento della scoperta matematica, visto che nella pratica matematica le dimostrazioni si ottengono più impostando una “cornice appropriata” del problema, come sostengono i matematici Kac e Ulam, che  deducendo i teoremi in maniera puramente  logica dagli  assiomi di partenza, come prescrive la logica matematica. Pertanto il metodo della scoperta matematica non è puramente assiomatico, e il compito della logica non è limitato allo studio di tale metodo assiomatico. L’impianto hilbertiano era di radice aristotelica, e prevedeva una procedura meccanica che avrebbe permesso una volta per tutte di risolvere tutti i problemi della matematica. I limiti dei sistemi formali, tuttavia, sono limiti strutturali, perché concepiscono la conoscenza come sistema chiuso. Non sono adeguati a gestire conoscenze in evoluzione, a formulare nuove ipotesi, a formalizzare il ragionamento non monotono, a trattare incoerenze in una teoria, oppure interazioni tra diversi sistemi formali. Il metodo d’analisi o metodo analitico, anticipato con un esempio di dimostrazione elaborata da Ippocrate di Chio, invece è più fecondo nella scoperta matematica: si parte da un determinato problema, e si costruiscono problemi analoghi e ipotesi funzionali alla scoperta di quel teorema, attingendo anche da altre teorie, giustificando via via il procedimento finché non si ottiene il risultato cercato.