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Seconda lezione
Napoli, 1° giugno 1993
Logica teoretica e logica pratica

Cellucci illustra con due controesempi i limiti della concezione di Hilbert, secondo cui vi è isomorfismo tra logica, matematica e fisica. Nel primo esempio considera un insieme di assiomi in un sistema formale e mostra come sia possibile dedurre logicamente un enunciato da questi assiomi, la cui dimostrazione logica, però, è nei fatti intrattabile; tale dimostrazione invece viene enormemente semplificata utilizzando altri assiomi non logici. Da ciò si deduce la difficoltà di considerare la matematica come estensione della logica. Nel secondo esempio, invece, Cellucci mostra come partendo dalla tesi secondo cui il linguaggio matematico riesce a spiegare la regolarità di fenomeni naturali, non si possa dedurre che esista una totale simmetria tra il mondo del pensiero e quello dell’esperienza. La logica matematica eredita parzialmente il proprio impianto ideologico dalla sillogistica aristotelica. Nel metodo assiomatico, considerato il metodo della matematica, la scelta degli assiomi è però assunta arbitrariamente dall’inizio in maniera statica; e inoltre la dimostrazione ha più un carattere espositivo e didattico che quello di reale descrizione del processo della scoperta matematica. La “purezza” della dimostrazione assiomatica, che parte da pochi principi attraverso cui si deducono i teoremi, rispecchia la visione dell’antica Grecia che preferisce un modello epistemologico fondato sugli enti astratti e non sull’esperienza sensibile. Nell'epoca moderna è ben chiara la differenza tra il metodo reale della scoperta matematica e invece il metodo assiomatico, che è una formulazione a posteriori data per finalità didattiche e di giustificazione. La logica matematica, invece, si fonda su un nuovo impianto teorico: Hilbert cerca una fondazione completa, assiomatica della matematica, anche se, dopo la scoperta dell’algebra astratta e delle geometrie non euclidee, si limita alla dimostrazione di coerenza, relativizzando il concetto di verità degli assiomi in quello di validità. Al contrario, Frege anche su questo punto rimane aristotelico, ribadendo la necessità di considerare la verità degli assiomi di partenza. Secondo Cellucci, nonostante Aristotele non abbia mai inteso il metodo assiomatico come metodo di scoperta scientifica ma solo come metodo espositivo, la logica matematica, anche dopo i risultati dei teoremi limitativi, continua a rimanere fedele all’impianto teorico che vede nei sistemi formali un modello valido per tutta la conoscenza scientifica.